Question

（滿分18分）本題有2小題，第1小題9分，第2小題9分．

在中，、為定點(diǎn)，為動點(diǎn)，記、、的對邊分別為、、，已知，且存在常數(shù)，使得．

（1）求動點(diǎn)的軌跡，并求其標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與（1）中的曲線交于兩點(diǎn)，若，試確定的范圍．

Answer 1

解：（1）在中，由余弦定理，有， ……………1分

， ……………………3分

所以，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長的橢圓．（除去長軸上的頂點(diǎn)）  …………………………………………………………………………………………1分

如圖，以、所在的直線為x軸，以、的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．

則，和．

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：． …………………………………………4分

（2）設(shè)，，

①當(dāng)垂直于軸時，的方程為，由題意，有，在橢圓上．

即，由，得………………………………1分

②當(dāng)不垂直于軸時，設(shè)的方程為．

由得：，………2分

由題意知：，

所以，．

于是：．

因為，所以，

所以，………………………………………4分

所以，，

由得，解得 …………………………………………2分

綜合①②得： ………………………………………………………………1分