Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC；
（1）求角B的大�。�
（2）設(shè)的最大值是5，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為正弦值的關(guān)系，再由兩角和與差的正弦公式和誘導(dǎo)公式求出cosB的值，最后確定角B的值．
（2）先根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算表示出，再運(yùn)用余弦函數(shù)的二倍角公式將2A化為A的關(guān)系，最后令t=sinA，轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次函數(shù)求最值的問題．
解答：解：（I）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA∵0＜A＜π，∴sinA≠0．
∴cosB=∵0＜B＜π，∴B=．
（II）=4ksinA+cos2A=-2sin²A+4ksinA+1，A∈（0，）
設(shè)sinA=t，則t∈（0，1]．則=-2t²+4kt+1=-2（t-k）²+1+2k²，t∈（0，1]
∵k＞1，∴t=1時(shí)，取最大值．依題意得，-2+4k+1=5，∴k=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理、和向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角函數(shù)求最值的問題．向量和三角函數(shù)的綜合題是高考的熱點(diǎn)問題，每年必考，要給予重視．