Question

已知圓O的方程為x²+y²=1和點(diǎn)A（a，0），設(shè)圓O與x軸交于P、Q兩點(diǎn)，M是圓OO上異于P、Q的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A（a，0）且與x軸垂直的直線(xiàn)為l，直線(xiàn)PM交直線(xiàn)l于點(diǎn)E，直線(xiàn)QM交直線(xiàn)l于點(diǎn)F．
（1）若a=3，直線(xiàn)l₁過(guò)點(diǎn)A（3，0），且與圓O相切，求直線(xiàn)l₁的方程；
（2）證明：若a=3，則以EF為直徑的圓C總過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若以EF為直徑的圓C過(guò)定點(diǎn)，探求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a=3，直線(xiàn)l₁過(guò)點(diǎn)A（3，0），且與圓O相切，通過(guò)圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，求出直線(xiàn)的斜率，即可求直線(xiàn)l₁的方程；
（2）通過(guò)a=3，設(shè)出M的坐標(biāo)，推出以EF為直徑的圓C的方程，利用圓總過(guò)定點(diǎn)，即可求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）通過(guò)以EF為直徑的圓C過(guò)定點(diǎn)，寫(xiě)出逆命題，然后求a的取值范圍．
解答：解：（1）∵直線(xiàn)l₁過(guò)點(diǎn)A（3，0），且與圓C：x²+y²=1相切，
設(shè)直線(xiàn)l₁的方程為y=k（x-3），即kx-y-3k=0，
則圓心O（0，0）到直線(xiàn)l₁的距離為d=，解得k=，
∴直線(xiàn)l₁的方程為y=（x-3），即y=（x-3）．
（2）對(duì)于圓方程x²+y²=1，令y=0，得x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直線(xiàn)l₂過(guò)點(diǎn)a且與x軸垂直，∴直線(xiàn)l₂方程為x=3，設(shè)M（s，t），則直線(xiàn)PM方程為y=（x+1）．
解方程組，得P′同理可得，
∴以P′Q′為直徑的圓C′的方程為（x-3）（x-3）+（y-）（y-）=0，
又s²+t²=1，∴整理得，
若圓C′經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，只需令y=0，從而有x²-6x+1=0，解得x=3，
∴圓C′總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．
（3）以EF為直徑的圓C過(guò)定點(diǎn)，它的逆命題：設(shè)圓O與x軸交于P、Q兩點(diǎn)，M是圓O上異于P、Q的任意一點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)M（m，0）且與x軸垂直的直線(xiàn)為l₂，直線(xiàn)PM交直線(xiàn)l₂于點(diǎn)P′，
直線(xiàn)QM交直線(xiàn)l₂于點(diǎn)Q′，以P′Q′為直徑的圓C總過(guò)定點(diǎn)，則m＞1或者m＜-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，圓的方程的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．