Question

已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足：PA與PB的斜率之積為3．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）記點(diǎn)F（-2，0），曲線E上的任意一點(diǎn)C（x₁，y₁）滿足：x₁＜-1，x₁≠-2且y₁＞0，設(shè)∠CFB=α，∠CBF=β．
①求證：tanα=tan2β；
②設(shè)過點(diǎn)C的直線x=-

1

3

y+b與軌跡E相交于另一點(diǎn)D（x₂，y₂）（x₂＜-1，y₂＜0），若∠FCB與∠FDB互補(bǔ)，求實(shí)數(shù)b的值．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件，利用直線的斜率公式能導(dǎo)出

y

x+1

•

y

x-1

=3，x≠±1，由此能求出曲線E的方程．
（2）①由tanα=

y1

x1+2

，tanβ=

y1

x1-1

，y12=3(x12-1)，利用二倍角公式能夠證明tan2β=tanα．
②由題意C（x₁，y₁），y₁＞0，D（x₂，y₂），y₂＜0，聯(lián)立

x=- 1 3 y+b 3x2-y2=3

，得2y²+6by-9b²+9=0，利用根的判斷別式、韋達(dá)定理、到角公式，結(jié)合題設(shè)條件能夠求出實(shí)數(shù)b的值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y），
∴kPA=

y

x+1

，kPB=

y

x-1

，
∵PA與PB的斜率之積為3，
∴

y

x+1

•

y

x-1

=3，x≠±1，
∴x2-

y2

3

=1，(x＞1或x＜-1)．
（2）①∵∠CFB=α，∠CBF=β，β為銳角，
∵tanα=

y1

x1+2

，tanβ=

y1

x1-1

，y12=3(x12-1)，
∴tan2β=

2tanβ

1-tan2β

=

- 2y1 x1-1

1- y12 (x1-1)2

=

y1

x1+2

=tanα．
②由題意C（x₁，y₁），y₁＞0，D（x₂，y₂），y₂＜0，
聯(lián)立

x=- 1 3 y+b 3x2-y2=3

，得2y²+6by-9b²+9=0，
則△=36b²-4×2（-9b²+9）＞0，
∴b2＞

2

3

，
y₁+y₂=-3b，y1•y2=

9-9b2

2

＜0，
∴b²＞1．
故y₂-y₁=-3b，y1y2=

9-9b2

2

＜0，
∴b²＞1，
故y2-y1=-3

3b2-2

，
設(shè)∠DFB=γ，∠DBF=θ，
∵tanγ=-kDF=-

y2

x2+2

，tanθ=

y2

x2-1

，y22=3(x22-1)，
∴tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

2y2 x2-1

1- y22 (x2-1)2

=-

y2

x2+2

=tanγ，
∵2θ∈（0，π），γ∈（0，π），
∴γ=2θ，即∠DFB=2∠DBF，
∵α，2β∈（0，π），∴由（2）①得α=2β，即∠CFB=2∠CBF，
又∠DFB=2∠DBF，
∴∠FCB與∠FDB互補(bǔ)，即∠FCB+∠FDB=π，
∴2π-3∠CBF-3∠DBF=π，則∠CBD=

π

3

，
由到角公式，得

y2(x1-1)-y1(x2-1)

(x1-1)(x2-1)+y1y2

=

3

，
∴

(b-1)(y2-y1)

10 9 y1y2- 1 3 (b-1)(y1+y2)+(b-1)2

=

3

，
即

3b2-2

b+2

=

3

，
∴4b+4=-

2

3

，解得b=-

7

6

，滿足b²＞1，
∴b=-

7

6

．

點(diǎn)評：本題考查曲線方程的求法，三角函數(shù)的證明，實(shí)數(shù)值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．