Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-2x-2+lnx，a∈R．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（x）在（1，+∞）上只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對于任意x₁，x₂∈（0，1]，都有|x₁-x₂|≤f（x₁）-f（x₂）|，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2x+2+lnx，則f′(x)=

1

x

-2，由此能求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）令f′(x)=ax-2+

1

x

=

ax2-2x+1

x

=0，f（x）在（1，+∞）上只有一個(gè)極值點(diǎn)，故f′（x）=0在（1，+∞）上只有一個(gè)根且不是重根．令g（x）=ax²-2x+1，x∈（1，+∞）．進(jìn)行分類討論能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）當(dāng)a≥1時(shí)，f′(x)=

ax2-2x+1

x

=

a(x- 1 a )2- 1 a +1

x

，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增．引入新函數(shù)：h（x）=f（x）-x=

1

2

ax²-3x-2+lnx，問題轉(zhuǎn)化為h′（x）≥0，x∈（0，1]上恒成立，由此得到a≥

9

4

；當(dāng)a＜1且a≠0時(shí)

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

＜1與|x₁-x₂|≤|f（x₁）-f（x₂）|矛盾．當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在（0，1）上只有一個(gè)極大值，同樣得出矛盾．由此能求出實(shí)數(shù)a的范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2x+2+lnx，
令f′(x)=

1

x

-2=

1-2x

x

＞0，
解得0＜x＜

1

2

．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，

1

2

）．
（2）∵令f′(x)=ax-2+

1

x

=

ax2-2x+1

x

=0，
f（x）在（1，+∞）上只有一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（x）=0在（1，+∞）上只有一個(gè)根且不是重根．
令g（x）=ax²-2x+1，x∈（1，+∞）．
①當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=-2x+1，不在（1，+∞）上有一個(gè)根，舍去．
②當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）=ax²-2x+1，在（1，+∞）上只有一個(gè)根，且不是重根，
∴g（1）＜0，∴0＜a＜1；
③當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）=ax²-2x+1，在（1，+∞）上只有一個(gè)根，且不是重根，
∴g（1）＞0，∴a＞1，矛盾．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值值范圍是：0＜a＜1．
（3）當(dāng)x₁=x₂時(shí)，滿足條件．以下以討論x₁≠x₂的情況．
①當(dāng)a≥1時(shí)，f′(x)=

ax2-2x+1

x

=

a(x- 1 a )2- 1 a +1

x

，
∵x∈（0，1]，

1

a

∈(0，1]，
∴a(x-

1

a

) 2-

1

a

+1≥1-

1

a

≥0，
得到f′（x）≥0，
即f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增．
對于任意x₁，x₂∈（0，1]，設(shè)x₁＜x₂，則有f（x₁）＜f（x₂），代入不等式：
|x₁-x₂|≤|f（x₁）-f（x₂）|，
∴f（x₂）-f（x₁）≥x₂-x₁，
∴f（x₂）-x₂≥f（x₁）-x₁．
引入新函數(shù)：h（x）=f（x）-x=

1

2

ax²-3x-2+lnx，
h′(x)=ax-3+

1

x

=

ax2-3x+1

x

，
∴問題轉(zhuǎn)化為h′（x）≥0，x∈（0，1]上恒成立，
∴ax²-3x+1≥0，
∴a≥

3x-1

x2

，
∴a≥ (

3x-1

x2

)max，
令l(x)=

3x-1

x2

，
∵l′(x)=

2-3x

x3

，
∴當(dāng)0＜x＜

2

3

時(shí)，l′（x）＞0；
當(dāng)

2

3

＜x＜1時(shí)，l′（x）＜0．
∴x=

2

3

時(shí)，l(x)min=l(

2

3

)=

9

4

，
∴a≥

9

4

．
②當(dāng)a＜1且a≠0時(shí)，f′（x）=

ax2-2x+1

x

，
令k（x）=ax²-2x+1=0，
方程判別式△=4-4＞0，
且k（1）=a-1＜0．
∴f（x）在（0，1）上只有一個(gè)極大值．
設(shè)極大值點(diǎn)為x₁，記A（x₁，f（x₁）），在點(diǎn)A處的斜率為0；
過A點(diǎn)作一條割線AB，肯定存在點(diǎn)B（x₂，f（x₂）），
使|k_AB|＜1．
∵|k_AB|慢慢變成0，
這樣存在x₁，x₂，
使得

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

＜1與|x₁-x₂|≤|f（x₁）-f（x₂）|矛盾．
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在（0，1）上只有一個(gè)極大值，同樣得出矛盾．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的范圍是{a|a≥

9

4

}．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．