Question

如圖所示的多面體V-ABCD，它的正視圖為直角三角形，側視圖為等腰三角形，俯視圖的邊界為正方形（尺寸如圖所示，單位：cm）．
（I）求多面體V-ABCD的表面積；
（II）設，是否存在實數λ使得平面VCD與平面EAC所成的銳角為30°？若存在，求出實數λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）由題意，S_△VAB=，S_{正方形ABCD}=2×2=4
在△VBC中，BC=2，VB=，且VB⊥BC，∴S_△VBC=
同理可得S_△VAD=
在△VCD中，VC=VD=3，CD=2，∴S_△VCD=
∴多面體V-ABCD的表面積為6+2+2；
（II）設AB，CD的中點為O，F，連接VO，OF，則OB，OF，OV兩兩垂直，以O為原點，OB，OF，OV所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系
則A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（-1，2，0），V（0，0，2），E（，0，1）
設平面VCD的一個法向量為=（x，y，z）
∵=（-1，-2，2），=（-2，0，0）
∴由可得，∴可取=（0，1，1）
設平面EAC的一個法向量為=（x′，y′，z′）
∵=（λ，0，-2λ），=（-1，0，-2）
∴==（-1-λ，0，2λ-2）
∵=（2，2，0）
∴，∴可取=（2λ-2，-2λ+2，λ+1）
∵平面VCD與平面EAC所成的銳角為30°
∴cos＜，＞==
∴25λ²-30λ+9=0
∴λ=
∴存在λ=，使得平面VCD與平面EAC所成的銳角為30°
分析：（I）多面體V-ABCD的表面積為S_△VAB+S_{正方形ABCD}+S_△VAD+S_△VCD，即可得到結論；
（II）設AB，CD的中點為O，F，連接VO，OF，則OB，OF，OV兩兩垂直，以O為原點，OB，OF，OV所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，確定平面VCD與平面EAC的法向量，利用平面VCD與平面EAC所成的銳角為30°，即可求得結論．
點評：本題考查多面體的表面積，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．