Question

已知a，b，c均為正數(shù)．
（Ⅰ）求證：a²+b²+（

1

a

+

1

b

）²≥4

2

；
（Ⅱ）若a+4b+9c=1，求證：

9

a

+

4

b

+

1

c

≥100．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,不等式的解法及應用

分析：利用基本不等式，即可證明結論．

解答： 證明：（Ⅰ）∵a，b均為正數(shù)，
∴a²+b²≥2ab，

1

a2

+

1

b2

≥

2

ab

，
∴a²+b²+

1

a2

+

1

b2

≥2ab+

2

ab

，
∴a²+b²+（

1

a

+

1

b

）²≥2ab+

4

ab

≥4

2

，
當且僅當a=b=

2

時，等號成立．
（Ⅱ）∵a+4b+9c=1，
∴

9

a

+

4

b

+

1

c

=（a+4b+9c）（

9

a

+

4

b

+

1

c

）=9+16+9+

4a

b

+

36b

a

+

a

c

+

81c

a

+

36c

b

+

4b

c

≥34+24+18+24=100，
當且僅當a=3b=9c時等號成立．

點評：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，掌握基本不等式的使用條件是關鍵．