Question

武漢某文具生產(chǎn)企業(yè)，上年度某商品生產(chǎn)的投入成本為3元/件，出廠價為4元/件，年銷售量為1000萬件，本年度此企業(yè)為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本．若每件投入成本增加的比例為x（0＜x＜0.5），則出廠價相應(yīng)提高的比例為0.625x，同時預(yù)計銷售量增加的比例為0.75x；若每件投入成本增加的比例為x（0.5≤x≤1），則出廠價相應(yīng)提高的比例為0.75x，但預(yù)計銷量增加的比例為0.04x．
（1）寫出本年度該企業(yè)預(yù)計的年利潤y（萬元）與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；
（2）為使本年度的年利潤達(dá)到最大值，則每件投入成本增加的比例x應(yīng)是多少？此時最大利潤是多少？（結(jié)果精確到0.001）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)年利潤y=銷售收入-成本，對x分類討論，分別求得生產(chǎn)成本，出廠價以及銷售量，從而列出函數(shù)關(guān)系，最后寫成分段函數(shù)即可得到答案；
（2）根據(jù)（1）中年利潤的解析式，分兩段分別求解函數(shù)的最值，一段運用二次函數(shù)求最值，一段運用一次函數(shù)的單調(diào)性求最值，最后兩個最值進(jìn)行比較，即可得到答案．

解答：解：根據(jù)題意可知，年利潤y=銷售收入-成本，
①當(dāng)0＜x＜

1

2

時，生產(chǎn)投入的成本為3×（1+x）元/件，出廠價為4×（1+0.625x）元/件，銷售量為1000（1+0.75x）萬件，
∴y=[4×（1+0.625x）-3×（1+x）]×1000（1+0.75x）
=125（2-x）（4+3x）
=125（-3x²+2x+8），
②當(dāng)

1

2

≤x≤1時，生產(chǎn)投入的成本為3×（1+x）元/件，出廠價為4×（1+0.75x）元/件，銷售量為1000（1+0.04x）萬件，
∴y=[4×（1+0.75x）-3×（1+x）]×1000（1+0.04x）
=1000（1+0.04x）
=40（25+x），
綜合①②可得，y=

125(-3x2+2x+8)，x∈(0， 1 2 ) 40(25+x)，x∈[ 1 2 ，1]

，
∴本年度該企業(yè)預(yù)計的年利潤y（萬元）與投入成本增加的比例x的關(guān)系式為y=

125(-3x2+2x+8)，x∈(0， 1 2 ) 40(25+x)，x∈[ 1 2 ，1]

；
（2）根據(jù)（1）可知，y=

125(-3x2+2x+8)，x∈(0， 1 2 ) 40(25+x)，x∈[ 1 2 ，1]

，
①當(dāng)0＜x＜

1

2

時，y=125（-3x²+2x+8），
對稱軸為x=

1

3

∈（0，

1

2

），
∴當(dāng)x=

1

3

時，y取得最大值為y_max=125×[-3×(

1

3

)2+2×

1

3

+8]=125×(

1

3

+8)≈1041.667，
②當(dāng)

1

2

≤x≤1時，y=40（25+x），
∴函數(shù)y在[

1

2

，1]上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時，y取得最大值為y_max=40×（25+1）=1040．
綜上所述，由于1040＜1041.667，
∴當(dāng)x=

1

3

時，最大利潤為1041.667萬元，
∴為使本年度的年利潤達(dá)到最大值，則每件投入成本增加的比例x應(yīng)是

1

3

，此時最大利潤是1041.667萬元．

點評：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．本題考查的數(shù)學(xué)模型為分段函數(shù)，對于分段函數(shù)一般選用數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題．屬于中檔題．