Question

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率e，且點P（，1）在橢圓C上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若橢圓C的左焦點為F，右頂點為A，點M（s，t）（t＞0）是橢圓C上的動點，直線AM與y軸交于點D，點E是y軸上一點，EF⊥DF，EA與橢圓C交于點G，若△AMG的面積為2，求直線AM的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）xy﹣2＝0

【解析】

（1）利用離心率和橢圓經(jīng)過的點建立方程組，可以求解方程；

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合三角形的面積為2可得直線斜率，從而可得方程.

（1）由題意得e，，a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝2，

所以橢圓的方程：.

（2）由（1）得左焦點F（，0），A（2，0），設(shè)直線AM：y＝k（x﹣2），由題意得D（0，﹣2k），∴kDFk，

∵EF⊥DF，∴kEF，∴直線EF的方程：x，

令x＝0，則y，所以點E（0，），所以kEA，

所以直線EA：x＝﹣2ky+2，聯(lián)立與橢圓的方程整理得：∴y，x，所以點G（，）；

聯(lián)立直線AM與橢圓的方程整理得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣4＝0，解得：x1＝2，x2，∴y2，所以點M（，），

所以點M，G關(guān)于原點對稱，即直線MG過原點，

∴S△AMG2|yM|，由題意得：2，解得：k，

由點M（s，t）（t＞0）得，k，所以直線AM為：y（x﹣2），

即直線AM：xy﹣2＝0.