Question

一種十字繡作品由相同的小正方形構成，圖①，②，③，④分別是制作該作品前四步時對應的圖案，按照如此規(guī)律，第n步完成時對應圖案中所包含小正方形的個數記為f（n）．

（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）的值；
（2）利用歸納推理，歸納出f（n+1）與f（n）的關系式；
（3）猜想f（n）的表達式，并寫出推導過程．

Answer 1

分析：（1）根據前4個圖形進行歸納，求出f（2），f（3），f（4），推測f（5）的值；
（2）利用（1）的結果，歸納推理，通過相鄰兩個函數值的關系，歸納出f（n+1）與f（n）的關系式；
（3）猜想f（n）的表達式，利用（2）的推導方法，即可寫出推導過程．

解答：解：（1）圖①中只有一個小正方形，得f（1）=1；
圖②中有3層，以第3層為對稱軸，有1+3+1=5個小正方形，得f（2）=5；
圖③中有5層，以第3層為對稱軸，有1+3+5+3+1=13個小正方形，得f（3）=13；
圖④中有7層，以第4層為對稱軸，有1+3+5+7+5+3+1=25個小正方形，得f（4）=25；
圖⑤中有9層，以第5層為對稱軸，有1+3+5+7+9+7+5+3+1=41個小正方形，得f（5）=41；
（2）∵f（1）=1； f（2）=5；f（3）=13；f（4）=25；f（5）=41；
∴f（2）-f（1）=4=4×1；
∴f（3）-f（2）=8=4×2；
∴f（4）-f（3）=12=4×3；
∴f（5）-f（4）=16=4×4；
…
∴f（n）-f（n-1）=4×（n-1）=4n-4．
∴f（n+1）與f（n）的關系式：f（n+1）-f（n）=4n．
（3）猜想f（n）的表達式：2n²-2n+1．
由（2）可知
f（2）-f（1）=4=4×1；
f（3）-f（2）=8=4×2；
f（4）-f（3）=12=4×3；
f（5）-f（4）=16=4×4；
…
∴f（n）-f（n-1）=4×（n-1）=4n-4．
將上述n-1個式子相加，得f（n）=4（1+2+3+4+…+（n-1））
=4×

(n-1)[1+(n-1)]

2

=2n²-2n+1．
f（n）的表達式為：2n²-2n+1．

點評：本題給出成一定規(guī)律排列的圖形，找出第n個圖形中小正方形的個數，著重考查了等差數列的通項與求和，及簡單歸納推理等知識，（3）也可以利用數學歸納法證明，屬于中檔題．