Question

設(shè)橢圓的左焦點為，離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.

(1) 求橢圓方程.

(2) 過點的直線與橢圓交于不同的兩點，當面積最大時，求.

 

Answer 1

【答案】

(1) ;(2).

【解析】

試題分析：（1）由離心率得，由過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為得，再加橢圓中可解出，可得橢圓方程；（2）將直線方程設(shè)為，交點設(shè)出，然后根據(jù)題意算出的面積，令則，所以當且僅當時等號成立，求出面積最大時的.

試題解析：(1)由題意可得，，又，解得，所以橢圓方程為                （4分）

(2)根據(jù)題意可知，直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，設(shè)，由方程組消去得關(guān)于的方程  （6分）由直線與橢圓相交于兩點，則有，即得

由根與系數(shù)的關(guān)系得

故         (9分)

又因為原點到直線的距離，

故的面積

令則，所以當且僅當時等號成立，

即時，              (12分)

考點：1.橢圓方程；2.橢圓與直線綜合；3.基本不等式.