Question

如圖，多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEFG所截而得，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4．
（1）求和點G的坐標(biāo)；
（2）求GE與平面ABCD所成的角的正弦值；
（3）求點C到截面AEFG的距離．

Answer 1

解：（1）由圖可知：A（1，0，0），B（1，4，0），E（1，4，3），F(xiàn)（0，4，4）
∴
又∵，設(shè)G（0，0，z），
則（-1，0，z）=（-1，0，1）
∴z=1，∴G（0，0，1）
（2）平面ABCD的法向量．，
設(shè)GE與平面ABCD成角為θ，則sinθ=
（3）設(shè)⊥面AEFG，=（x₀，y₀，z₀）
∵⊥，⊥，而=（-1，0，1），=（0，4，3）
∴
∴
∴
取z₀=4，則=（4，-3，4）
∵=（0，0，4）
∴=
即點C到截面AEFG的距離為．
分析：（1）用坐標(biāo)表示點，進而可求求，利用，可求點G的坐標(biāo)；
（2）求出平面ABCD的法向量，進而向量的夾角公式，可求GE與平面ABCD所成的角的正弦值；
（3）求出平面AEFG的法向量，再利用點到面的距離公式，即可求得點C到截面AEFG的距離．
點評：本題重點考查利用向量知識解決立體幾何問題，考查線面角，考查點到面的距離，求出平面的法向量是解題的關(guān)鍵．