Question

已知函數(shù)f(x)=

ex

x2-ax+1

(a≥0)，
（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式f（x）≥x對(duì)于任意的x∈[0，a+1]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，然后討論a，得到導(dǎo)數(shù)符號(hào)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）可知當(dāng)a＞2時(shí)，x∈[x₁，x₂]⊆[0，a+1]時(shí)，有f（x）＜0即f（x）≥x不成立，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）≥x在x∈[0，a+1]上成立，當(dāng)a∈（0，2）時(shí)，證明f(1+a)=

ea+1

a+2

≥a+1，即證e^x-（x+1）x≥0（x=a+1∈（1，3））即可．

解答：解：（1）f′（x）=

ex(x2-ax+1-2x+a)

(x2-ax+1)2

=

ex(x-1)(x-(a+1))

(x2-ax+1)2

當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)镽，f′（x）=

ex(x-1)2

(x2+1)2

≥0，∴f（x）在R上單調(diào)遞增
當(dāng)a∈（0，2）時(shí)，∵△=a²-4＜0∴x²-ax+1＞0恒成立，函數(shù)定義域?yàn)镽，又a+1＞1，
∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，（1，1+a）單調(diào)遞減，（1+a，+∞）單調(diào)遞增
當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞），f′（x）=

ex(x-3)

x-1

∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，（1，3）上單調(diào)遞減，（3，+∞）上單調(diào)遞增
當(dāng)a∈（2，+∞）時(shí)，∵△=a²-4＞0，設(shè)x²-ax+1=0的兩個(gè)根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，
由韋達(dá)定理易知兩根均為正根，且0＜x₁＜1＜x₂，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，x₁）∪（x₂，+∞）
又對(duì)稱軸x=

a

2

＜a+1，且（a+1）²-a（a+1）+1=a+2＞0，x₂＜a+1
∴f（x）在（-∞，x₁），（x₁，1）單調(diào)遞增，（1，x₂），（x₂，a+1）上單調(diào)遞減，（1+a，+∞）單調(diào)遞增
（2）解：由（1）可知當(dāng)a＞2時(shí)，x∈[x₁，x₂]⊆[0，a+1]時(shí)，有f（x）＜0即f（x）≥x不成立，---------（8分）
當(dāng)a=0時(shí)，f(0)=1，f(1)=

e

2

＞1，f(x)單調(diào)遞增，所以f（x）≥x在x∈[0，a+1]上成立----------------（9分）
當(dāng)a∈（0，2）時(shí)，f(0)=1，f(1)=

e

2-a

＞1，f(1+a)=

ea+1

a+2

，
下面證明：f(1+a)=

ea+1

a+2

≥a+1即證e^x-（x+1）x≥0（x=a+1∈（1，3））
令g（x）=e^x-（x+1）x，g′（x）=e^x-2x-1，g″（x）=e^x-2
∵x∈（1，3）∴g″（x）＞0，∴g′（x）單調(diào)遞增，∵g′（1）＜0，g′（3）＞0
∴?x₀使得=e^x-2x₀-1=0
∴g（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，3）上單調(diào)遞減，此時(shí)g（x）≥g（x₀）=-

x

2 0

+x₀+1
∵g′（

1+ 5

2

）=e

1+ 5

2

-（2+

5

）＞0
∴x₀＜

1+ 5

2

∴g（x₀）＞0
所以不等式e^x-（x+1）x≥0（x=a+1∈（1，3））所以f(1+a)=

ea+1

a+2

≥a+1
綜上所述，當(dāng)a∈[0，2）時(shí)，不等式f（x）≥x對(duì)于任意的x∈[0，a+1]恒成立-------（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算能力，屬于難題．