Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2In（1-x）（a為實數(shù)）．
（1）若f（x）在[-3，-2 ）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）_max=1-2

2

，求出a的值．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)，然后轉(zhuǎn)化成f'（x）≥0，對一切x∈[-3，-2）恒成立，分離出參數(shù)，求出a的范圍；
（2）當(dāng)a≤0時，則f'（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，沒有最大值；當(dāng)a＞0時，得出f'（x）≤2a-2

4a

，進(jìn)而求出f'（x）max=2a-2

4a

，即可求出a的值．

解答：解：（1）由題意得f'（x）≥0，對一切x∈[-3，-2）恒成立，
即2ax-

2

1-x

≥0對一切x∈[-3，-2）恒成立．（2分）
∴2ax≥

2

1-x

，a≤

1

-x2+x

=

1

-(x- 1 2 )2+ 1 4

，（3分）
當(dāng)x∈[-3，-2）時，-（x-

1

2

）²+

1

4

＜-6，
∴

1

-(x- 1 2 )2+ 1 4

＞-

1

6

∴a≤-

1

6

，所以a的取值范圍是（-∞，-

1

6

]．（6分）
（2）因為f'（x）=2ax-

2

1-x

，
當(dāng)a≤0時，則f'（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，沒有最大值．（8分）
當(dāng)a＞0時，∵x＜1∴2a（1-x）＞0，

2

1-x

＞0，∴f'（x）≤2a-2

4a

．（10分）
由2a（1-x）=

2

1-x

得，x=1±

1

a

  由于x=1+

1

a

＞1，舍去．
所以當(dāng)x=1-

1

a

時，f'（x）max=2a-2

4a

．（11分）
令2a-2

4a

=1-2

2

，解得a=

1

2

或a=

9

2

-2

2

，即為所求．（12分）

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，對于不等式恒成立問題要轉(zhuǎn)化成求最值問題來解決，屬于中檔題．