Question

（本小題滿分13分）

已知拋物線的焦點(diǎn)在軸上，拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過，兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點(diǎn)為．

   （Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求證：是和的等比中項(xiàng)．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）0（3）略

【解析】（Ⅰ）解：由題意可設(shè)拋物線的方程為．

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以．

又點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離是，所以，可得．

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．………………………………………………3分

（Ⅱ）解：點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，則．

依題意可知直線不與軸垂直，所以設(shè)直線的方程為．

由   得．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052016510370318501/SYS201205201652556093424708_DA.files/image011.png">過焦點(diǎn)，所以判別式大于零．

設(shè)，．

則，．……………………………………………………6分

．

由于，所以．

切線的方程為，          ①

切線的方程為．         ②

由①，②，得．…………………………………8分

則．

所以．………………………10分

（Ⅲ）證明：．

由拋物線的定義知 ，．

則

．

所以．

即是和的等比中項(xiàng)．…………………………………………………13分