Question

（2013•營口二模）已知橢圓

y2

25

+

x2

9

=1的上、下焦點(diǎn)分別為F₂和F₁，點(diǎn)A（1，-3），
（1）在橢圓上有一點(diǎn)M，使|F₂M|+|MA|的值最小，求最小值；
（2）當(dāng)|F₂M|+|MA|取最小值時(shí)，求三角形AMF₂的周長．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義表示出|MF₁|+|MF₂|，利用三點(diǎn)共線求出|F₂M|+|MA|的最小值，以及取得最小值時(shí)的條件；
（2）當(dāng)|F₂M|+|MA|取最小值時(shí)，此時(shí)M、A、F₁共線．結(jié)合橢圓的定義及兩點(diǎn)間的距離公式，從而三角形AMF₂的周長．

解答：解：（1）如圖，橢圓

y2

25

+

x2

9

=1的a=5，b=3，c=4．F₂（0，4），F(xiàn)₂（0，4），
|AF₁|=

2

，M是橢圓上任一點(diǎn)，由|MF₁|+|MF₂|=2a=10，
∴|F₂M|+|MA|≥2a-|MF₁|+|MA|=10-（|MF₁|-|MA|）≥10-|AF₁|≥10-

2

，
等號(hào)僅當(dāng)|MF₁|-|MA|=|AF₁|時(shí)成立，此時(shí)M、A、F₁共線．
∴|F₂M|+|MA|的值最小值為10-

2

，
（2）當(dāng)|F₂M|+|MA|取最小值時(shí)，此時(shí)M、A、F₁共線．
三角形AMF₂的周長：
l=|MF₂|+|MA|+|AF₂|=|MF₂|+|MF₁|-|MA|+|AF₂|
=10-

2

+5

2

=10-4

2

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義及定義的應(yīng)用，表達(dá)式的幾何意義的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．