Question

設函數(shù)f（log₄x）=

x

2+x

．
（1）證明：對任意的實數(shù)x，都有f（x）+f（1-x）=1；
（2）解不等式：f（x²-2x）+f（4-2x）＜1．

Answer 1

分析：（1）令t=log₄x，則 x=4^t，由條件求得 f（t）=

4t

2+4t

，從而求得 f（x）=

4x

2+4x

，從而證得結論成立．
（2）根據(jù)f（x）在（-∞，+∞） 上單調遞增，不等式f（x²-2x）＜1-f（4-2x）利用f（x）+f（1-x）=1可化為f（x²-2x）＜f（2x-3），即 x²-2x＜2x-3，由此求得它的解集．

解答：解：（1）令t=log₄x，則 x=4^t，∴f（t）=

4t

2+4t

，即 f（x）=

4x

2+4x

，
∴f（x）+f（1-x）=

4x

2+4x

+

41-x

2+41-x

=

4x+2

2+4x

=1，故結論成立．
（2）∵f（x）=

4x

2+4x

=1-

2

2+4x

 在（-∞，+∞） 上是單調遞增函數(shù)，
∴由不等式：f（x²-2x）+f（4-2x）＜1可得 f（x²-2x）＜1-f（4-2x），再由f（x）+f（1-x）=1可得 f（x²-2x）＜f（2x-3）．
∴x²-2x＜2x-3，解得1＜x＜3，
故不等式的解集為 （1，3）．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質應用，求函數(shù)的解析式，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．