Question

已知函數(shù)f（x）=ae^x+x²-ax，a為實(shí)常數(shù)．
（1）若f（x）在x=0處的切線，與x=1處的切線平行，求a的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂，都有f（x₁）≠f（x₂），若存在，求出所有符合條件的a，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f′（x）=ae^x+2x-a，可得f′（0）=0，由f（x）在x=0處的切線與x=1處的切線平行，可得f′（1）=0，可解得a的值，再說明兩切線不重合即可；
（2）設(shè)g（x）=f′（x）=ae^x+2x-a，則g′（x）=ae^x+2，分類討論：當(dāng)a≥0時(shí)，g′（x）＞0，故f′（x）在R上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增； 當(dāng)a＜0時(shí)，g′（x）在R上單調(diào)遞減，令g′（x₀）=0，解得x0=ln(-

2

a

)，a＜-2、-2＜a＜0時(shí)，同理可得存在實(shí)數(shù)x₁＜0＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂）；a=-2時(shí)，可得f（x）在R上單調(diào)遞減，由此可得結(jié)論．

解答：解：（1）因?yàn)閒′（x）=ae^x+2x-a，（1分）  
所以f′（0）=0，（2分）
因?yàn)閒（x）在x=0處的切線與x=1處的切線平行，所以f′（1）=ae+2-a=0，解得a=

2

1-e

．      （3分）
當(dāng)a=

2

1-e

時(shí)，f(0)=a=

2

1-e

，f（1）=ae+1-a=（e-1）a+1=-1，f（0）≠f（1），即兩切線不重合，故a=

2

1-e

．      （5分）
（2）設(shè)g（x）=f′（x）=ae^x+2x-a，則g′（x）=ae^x+2，
�。� 當(dāng)a≥0時(shí)，g′（x）＞0，故f′（x）在R上單調(diào)遞增，
而f′（0）=0，故x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
故必存在實(shí)數(shù)x₁＜0＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂）；      （7分）
ⅱ． 當(dāng)a＜0時(shí)，g′（x）在R上單調(diào)遞減，令g′（x₀）=0，解得x0=ln(-

2

a

)，
①若x₀＜0，即a＜-2時(shí)，g′（x）＜0在（x₀，+∞）上恒成立，故f′（x）在（x₀，+∞）上單調(diào)遞減，而f′（0）=0，所以x∈（x₀，0）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
故必存在實(shí)數(shù)x₁＜0＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂）；      （9分）
②若x₀＞0，即-2＜a＜0時(shí)，g′（x）＞0在（-∞，x₀）上恒成立，
f′（x）在（-∞，x₀）上單調(diào)遞增，而f′（0）=0，所以x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
x∈（0，x₀）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增
故必存在實(shí)數(shù)x₁＜0＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂）；         （11分）
③若x₀=0，即a=-2時(shí)，x₀=0，故當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，g′（x）＞0，f′（x）遞增，所以f′（x）＜f′（0）=0，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，，f′（x）遞減，所以f′（x）＜f′（0）=0，
所以當(dāng)x∈R時(shí)，f′（x）≤0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=0
故f（x）在R上單調(diào)遞減，所以對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x₁、x₂，都有f（x₁）≠f（x₂），
綜上ⅰ、ⅱ可知，存在這樣的實(shí)數(shù)a，當(dāng)且僅當(dāng)a=-2時(shí)對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x₁、x₂，都有f（x₁）≠f（x₂）．     （13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類是關(guān)鍵．