Question

已知向量，函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）如果△ABC中，f（A）=，且角A所對的邊a=2，求△ABC的周長l的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算公式，結(jié)合輔助角公式化簡可得f（x）=sin（x+）+，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得到求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）的表達式結(jié)合f（A）=，算出A=，再由余弦定理給出a²=b²+c²-2bccos=4，結(jié)合基本不等式算出b+c的最大值，由此不難得到△ABC的周長l的取值范圍．
解答：解：（1）∵向量，
∴=sincos+cos²=sinx+（1+cosx）=sin（x+）+
即f（x）的表達式是y=sin（x+）+
令-+2kπ≤x+≤+2kπ，（k∈Z），可得-+2kπ≤x≤+2kπ，（k∈Z）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-+2kπ，+2kπ]，（k∈Z）
（2）∵f（A）=sin（A+）+=，
∴sin（A+）=，結(jié)合A為三角形內(nèi)角可得A=
根據(jù)余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos=4
∴（b+c）²-4=3bc≤（b+c）²，可得（b+c）²≤4，即（b+c）²≤16
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時，b+c的最大值為4
又∵b+c＞a=2，∴b+c∈（2，4]，
由此可得△ABC的周長l的取值范圍是（4，6]．
點評：本題以向量的數(shù)量積運算為載體，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，并依此求解三角形周長的取值范圍，著重考查了三角恒等變換、解三角形、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和基本不等式求最值等知識，屬于基礎(chǔ)題．