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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          已知函數與函數g(x)的圖象關于y=x對稱,
          (1)若g(a)g(b)=2,且a<0,b<0,則的最大值為   
          (2)設f(x)是定義在R上的偶函數,對任意的x∈R,都有f(2-x)=f(x+2),且當x∈[-2,0]時,f(x)=g(x)-1,若關于x的方程f(x)-=0(a>1)在區(qū)間(-2,6]內恰有三個不同實根,則實數a的取值范圍是   
          【答案】分析:(1)根據題意,由反函數的定義以及對數函數、指數函數的性質可得g(x)=(x=2-x,進而結合題意可得2-(a+b)=2,即a+b=-1,對變形可得其等于-[5++],由基本不等式的性質可得+≥4,代入=-[5++]可得其最大值,即可得答案.
          (2)根據題意,分析可得函數f(x)是一個周期函數,且周期為4,將方程f(x)-logax+2=0恰有3個不同的實數解,轉化為函數f(x)的與函數y=-logax+2的圖象恰有3個不同的交點,數形結合即可得到實數a的取值范圍.
          解答:解:(1)根據題意,g(x)=(x=2-x,
          若g(a)g(b)=2,則有2-(a+b)=2,即a+b=-1,
          =-[(-a)+(-b)][+]=-[5++],
          又由a<0,b<0,則>0且>0,故+≥4,
          =-[5++]≤-9,
          的最大值為-9;
          (2)對于任意的x∈R,都有f(x-2)=f(2+x),∴函數f(x)是一個周期函數,且T=4.
          又∵當x∈[-2,0]時,f(x)=(x-1,且函數f(x)是定義在R上的偶函數,
          若在區(qū)間(-2,6]內關于x的方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3個不同的實數解,
          則函數y=f(x)與y=-loga(x+2)在區(qū)間(-2,6]上有三個不同的交點,
          又f(-2)=f(2)=3,分析可得有 loga4<3,且loga8>3,解得:<a<2,
          則a的取值范圍是(,2)
          故答案為(1):-9;(,2).
          點評:本題考查指數函數與對數函數的圖象與性質,以及基本不等式的應用,(1)的關鍵是根據題意,求出g(x)的解析式,其次要注意題意中a<0,b<0的條件,要配湊基本不等式成立的條件.
          練習冊系列答案
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          已知函數f(x)=
          1
          3
          a2x3-ax2+
          2
          3
          ,g(x)=-ax+1,其中a>0.
          (1)若函數f(x)的圖象與函數g(x)的圖象有公共點,且在公共點處有相同的切線,試求實數a的值;
          (2)在區(qū)間(0,
          1
          2
          ]上至少存在一個實數x0,使f(x0)>g(x0)成立,試求實數a的取值范圍.

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          已知函數與函數g(x)的圖象關于y=x對稱,
          (1)若g(a)g(b)=2,且a<0,b<0,則的最大值為   
          (2)設f(x)是定義在R上的偶函數,對任意的x∈R,都有f(2-x)=f(x+2),且當x∈[-2,0]時,f(x)=g(x)-1,若關于x的方程f(x)-=0(a>1)在區(qū)間(-2,6]內恰有三個不同實根,則實數a的取值范圍是   

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          科目:高中數學 來源:2012-2013學年山東省濟寧市金鄉(xiāng)一中高三(上)期末數學模擬試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

          已知函數與函數g(x)=alnx在點(1,0)處有公共的切線,設F(x)=f(x)-mg(x)(m≠0).
          (1)求a的值
          (2)求F(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.

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          已知函數與函數g(x)=alnx在點(1,0)處有公共的切線,設F(x)=f(x)-mg(x)(m≠0).
          (1)求a的值
          (2)求F(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.

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