Question

如圖所示,四邊形ABCD為正方形,?SA=SB=SC=SD,P是棱SC上的點(diǎn),M、N分別是棱SB、SD上的點(diǎn),SP∶PC=1∶2,SN∶ND=2∶1,SM∶MB=2∶1.求證:SA∥平面PMN.

Answer 1

證明:如圖,取SC的中點(diǎn)E,連結(jié)AC交BD于O,連結(jié)OE.

∵在△CSA中,O為AC中點(diǎn),E為SC中點(diǎn),

∴OE∥SA.

設(shè)SO∩MN=F,連結(jié)PF.

又∵SN∶ND=2∶1,SM∶MB=2∶1,

∴在△SBD中,MN∥BD.

∴SF∶FO=SN∶ND=2∶1.

又∵SP∶PC=1∶2,E為SC中點(diǎn),

∴SP∶PE=2∶1.∴SP∶PE=SF∶FO.

∴在△SOE中,PF∥OE.∴PF∥SA.

又SA?平面PMN,PF平面PMN,

∴SA∥平面PMN.