Question

下列數(shù)字所示的三角形數(shù)陣，滿足：
（1）第一行的數(shù)為1；                                                      
（2）第n（n≥2）行首尾兩數(shù)均為n，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加，則第n+1行中第2個(gè)數(shù)是

n2+n+2

2

（用n表示）． 

1                 
2     2
3     4     3
4     7      7    4
5     11    14    11   5
6     16    25    25   16   6
…

Answer 1

分析：先找到上一行第二個(gè)數(shù)與下一行第二個(gè)數(shù)滿足等式關(guān)系，然后由數(shù)列求通項(xiàng)的方法求出第n+1項(xiàng)即可．

解答：解：設(shè)第一行的第二個(gè)數(shù)為a₁=1，
由此可得上一行第二個(gè)數(shù)與下一行第二個(gè)數(shù)滿足等式a_n+1=a_n+n，
即a₂-a₁=1，a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，…a_n-1-a_n-2=n-2，a_n-a_n-1=n-1，a_n+1-a_n=n，
∴a_n+1=（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₄-a₃）+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+（n-2）+…+3+2+1+1=

n(n+1)

2

+1=

n2+n+2

2

故答案為

n2+n+2

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，其解題關(guān)鍵在于找到相鄰項(xiàng)的遞推公式，屬于中檔難度的題型．