Question

【題目】已知函數(shù)（且）.

（1）判斷的奇偶性并證明；

（2）若，判斷在的單調(diào)性并用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性結(jié)論加以說明；

（3）若，是否存在，使在的值域為？若存在，求出此時的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）是奇函數(shù)，證明見解析；（2）在上單調(diào)遞減，見解析（3）存在，．

【解析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可判斷該函數(shù)為奇函數(shù).

（2）令，可判斷此函數(shù)為增函數(shù)，而外函數(shù)為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法可知原來的函數(shù)為上的減函數(shù).

（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可把的存在性問題轉(zhuǎn)化為方程有兩正根，利用根分布可求實數(shù)的取值范圍.

（1）是奇函數(shù)，證明如下：

由解得或，

所以的定義域為，關(guān)于原點對稱．

∵，

故為上的奇函數(shù).

（2）令，則在上為單調(diào)遞增函數(shù).

因為，故為減函數(shù)，

故復(fù)合函數(shù)為上為單調(diào)遞減函數(shù).

（3）由（2）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，則.

假設(shè)存在，使在的值域為．

則有，∴．

所以，是方程的兩正根，

整理得在有2個不等根和．

令，則在有2個零點，

，解得，故的取值范圍為．