Question

給定數(shù)列a₁，a₂，……，a_n．對i＝1，2，3，…，n－1，該數(shù)列前i項的最大值記為A_i，后n－i項a_i+1，a_i+2，……，a_n的最小值記為B_i，d_i＝A_i－B_i．

(1)設(shè)數(shù)列{a_n}為3，4，7，1，寫出d₁，d₂，d₃的值．

(2)設(shè)a₁，a₂，……，a_n(n≥4)是公比大于1的等比數(shù)列，且a₁＞0，證明d₁，d₂，……，d_n－1是等比數(shù)列．

(3)設(shè)d₁，d₂，……，d_n－1是公差大于0的等差數(shù)列，且d₁＞0，證明a₁，a₂，……，a_n－1是等差數(shù)列．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)，， 　　(2)因為，，，()是公比大于的等比數(shù)列，且 　　所以 　　所以當時， 　　所以當時， 　　所以，，，是等比數(shù)列． 　　(3)若，，，是公差大于的等差數(shù)列，則 　　，，，應(yīng)是遞增數(shù)列，證明如下： 　　設(shè)是第一個使得的項，則 　　，，所以，與已知矛盾． 　　所以，，，，是遞增數(shù)列 　　再證明數(shù)列中最小項，否則()，則 　　顯然，否則，與矛盾 　　因而，此時考慮，矛盾 　　因此是數(shù)列中最小項 　　綜上，() 　　于是，也即，，，是等差數(shù)列