Question

設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，是否存在整數(shù)，使不等式恒成立？若存在，求整數(shù)的值；若不存在，請說明理由；
（3）關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）函數(shù)的遞增區(qū)間是；減區(qū)間是；
（2）存在整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，不等式在區(qū)間上恒成立；
（3）實(shí)數(shù)的取值范圍是.

試題分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，然后求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的增區(qū)間與減區(qū)間；（2）利用參數(shù)分離法將問題轉(zhuǎn)化為與在區(qū)間上同時(shí)恒成立，求出的取值范圍，最終確定整數(shù)的值；（3）構(gòu)造新函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，利用極值與端點(diǎn)值的將問題“關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)相異實(shí)根”進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，列出有關(guān)參數(shù)的不等式組，從而求出參數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）由得函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023304807526.png" style="vertical-align:middle;" />，
。                  2分
由得由
函數(shù)的遞增區(qū)間是；減區(qū)間是；          4分
（2）由（1）知，在上遞減，在上遞增；
                           5分
又且
時(shí)，                 7分
不等式恒成立，
即
是整數(shù)，
存在整數(shù)，使不等式恒成立        9分
（3）由得
令則 
由
在[0,1]上單調(diào)遞減，在[1,2]上單調(diào)遞增             10分
方程在[0,2]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根
函數(shù)在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，

實(shí)數(shù)m的取值范圍是            14分