Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又側棱PA⊥底面ABCD．
（1）當a為何值時，BD⊥平面PAC？試證明你的結論．
（2）當a=4時，求證：BC邊上存在一點M，使得PM⊥DM．
（3）若在BC邊上至少存在一點M，使PM⊥DM，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）解：當a=2時，ABCD為正方形，則BD⊥AC．
又∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA．∴BD⊥平面PAC．
故當a=2時，BD⊥平面PAC．

（2）證明：當a=4時，取BC邊的中點M，AD邊的中點N，連接AM、DM、MN．
∵ABMN和DCMN都是正方形，
∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM．
又PA⊥底面ABCD，由三垂線定理得，PM⊥DM，故當a=4時，BC邊的中點M使PM⊥DM．

（3）解：設M是BC邊上符合題設的點M，
∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM．
因此，M點應是以AD為直徑的圓和BC邊的一個公共點，則AD≥2AB，即a≥4為所求．
分析：（1）BD⊥PA，BD⊥AC?BD⊥平面PAC
（2）當a=4，取BC邊的中點M，DM⊥AM?PM⊥DM
（3）PA⊥底面ABCD?DM⊥AM?M點應是以AD為直徑的圓和BC邊的一個公共點，可求a
點評：本題是一道綜合性題，在面面垂直與線面垂直，線線垂直之間來回互用，而這也是立體幾何證明題的常見題型．