Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx，
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）有三個零點x₁，x₂，x₃，且x₁+x₂+x₃=，x₁x₃=-12，且a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f′（1）=a，3a＞2c＞2b，試問：導(dǎo)函數(shù)f′（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)是否有零點，并說明理由；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若導(dǎo)數(shù)f′（x）的兩個零點之間的距離不小于，求的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ），
∴，
x₁與x₃是方程的兩根，
，
由（1）、（2）可知：，
，
；
（Ⅱ），
∴，
∴，
，
，
①當(dāng)c＞0時，f′（0）＞0，f′（1）＜0，
∴f′（x）在（0，1）內(nèi)至少有一個零點；
②當(dāng)c≤0時，f′（2）＞0，f′（1）＜0，
∴f′（x）在（1，2）內(nèi)至少有一個零點；
綜上f′（x）在（0，2）內(nèi)至少有一個零點；
（Ⅲ）設(shè)m、n是導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ax²+bx+c的兩個零點，
，
；
另一方面：2c=-3a-2b且3a＞2c＞2b，
∴3a＞-3a-2b＞2b，
∴，
∴；
綜上，。