Question

(本小題13分)已知函數(shù)f(x)＝－ (a>0，x>0)．

(1)求證：f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，求a的值．

 

Answer 1

【答案】

(1)證明：見解析；(2) a＝. 

【解析】本事主要是考查了函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值域的求解的綜合運(yùn)用。

（1）先分析函數(shù)的定義域內(nèi)任意兩個變量，代入函數(shù)解析式中作差，然后變形定號，下結(jié)論。

（2）∵f(x)在[，2]上的值域是[，2]，那么可知又f(x)在[，2]上單調(diào)遞增，可知最大值和最小值在端點(diǎn)值取得求解得到參數(shù)a的值。

解：(1)證明：設(shè)x₂>x₁>0，則x₂－x₁>0，x₁x₂>0.

∵f(x₂)－f(x₁)＝(－)－( －)＝－

＝>0，

∴f(x₂)>f(x₁)，∴f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增的．………………6分

(2)∵f(x)在[，2]上的值域是[，2]，

又f(x)在[，2]上單調(diào)遞增，∴f()＝，f(2)＝2，

易得a＝.                      ………………13分