Question

已知點(diǎn)F(

1

2

，0)，動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)F，與直線x=-

1

2

相切，設(shè)動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線W，且直線x-y=m與曲線W相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求曲線W的方程；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，證明：OA⊥OB；
（3）當(dāng)y₁y₂=-2m時(shí)，是否存在m∈R，使得

OA

•

OB

=-1？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）確定動(dòng)圓圓心P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，以x=-

1

2

為準(zhǔn)線的拋物線，即可得到曲線W的方程；
（2）直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求得A，B的坐標(biāo)，即可得到結(jié)論；
（3）由于A，B兩點(diǎn)在拋物線上，可得

y12=2x1 y22=2x2

，利用

OA

•

OB

=-1，建立方程，即可求出m的值．

解答：（1）解：過動(dòng)圓圓心P作PN⊥直線x=-

1

2

，垂足為N，則有|PF|=|PN|，
∴動(dòng)圓圓心P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，以x=-

1

2

為準(zhǔn)線的拋物線，
故曲線W的方程為y²=2x．
（2）證明：當(dāng)m=2時(shí)，由

x-y=2 y2=2x

得x²-6x+4=0，
解得x1=3+

5

，x2=3-

5

，
因此y1=1+

5

，y2=1-

5

．
于是x1x2+y1y2=(3+

5

)(3-

5

)+(1+

5

)(1-

5

)=0，
即

OA

•

OB

=0．
所以O(shè)A⊥OB
（3）解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿足題意，由于A，B兩點(diǎn)在拋物線上，故

y12=2x1 y22=2x2

因此x1x2=

1

4

(y1y2)2=m2．
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=m2-2m．
由

OA

•

OB

=-1，即m²-2m=-1，得m=1．
又當(dāng)m=1時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以存在實(shí)數(shù)m=1，使得

OA

•

OB

=-1．

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．