Question

設(shè)雙曲線C：

x2

2

-y2=1的左、右頂點分別為A₁、A₂，垂直于x軸的直線l與雙曲線C交于不同的兩點P、Q．若直線l與x軸正半軸的交點為M，且

A1P

•

A2Q

=1，則點M的坐標為（　�。�

• A、（

  3

  2

  ，0）
• B、（2，0）
• C、（

  3

  ，0）
• D、（3，0）

Answer 1

分析：先求出點A₁、A₂的坐標，設(shè)出點P、Q以及M的坐標；利用向量的坐標運算求出關(guān)于點M坐標的等式，再結(jié)合P（a，b）在雙曲線上，聯(lián)立即可求出點M的坐標．

解答：解：由題得：A₁（-

2

，0），A₂（

2

，0），
設(shè)M（a，0），P（a，b），Q（a，-b）．則a＞0．
所以

A1P

=（a+

2

，b），

A2Q

=（a-

2

，-b）．
∵

A1P

•

A2Q

=1，
∴（a+

2

）（a-

2

）-b²=1，即a²-b²=3  ①
又因為P（a，b）在雙曲線上，故有

a2

2

-b2=1    ②
聯(lián)立①②得：a²=4，故a=2．
故選B．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題以及向量的坐標運算．解決本題的關(guān)鍵在于對向量的坐標運算的熟練掌握．