Question

（2012•長(zhǎng)春一模）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜a（a∈R）的解集為空集，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的3個(gè)不等式組，先求出每個(gè)不等式組的解集，取并集即得所求．
（II）先求出函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x+2|的最小值等于2，即 f（x）∈[2，+∞），根據(jù)f（x）＜a（a∈R）的解集為空集，求得a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）＞5 即|x-1|+|2x+2|＞5，∴①

x＜-1 1-x-2x-2＞5

，或②

-1 ≤ x ≤1 1-x+2x+2＞5

，或③

x ＞ 1 x-1+2x+2＞5

．
解①得 x＜-2，解②得 x∈∅，解③得 x＞

4

3

．
故原不等式的解集為 {x|x＜-2，或 x＞

4

3

}．
（Ⅱ）由于函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x+2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離加上 數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離的2倍，
故當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x+2|有最小值等于2，即 f（x）∈[2，+∞）．
由于f（x）＜a（a∈R）的解集為空集，則a∈（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，求函數(shù)的最小值的方法，體現(xiàn)了分類討論與等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．