Question

已知a、b、c為某一直角三角形的三條邊長，c為斜邊．若點（m，n）在直線ax+by+2c=0上，則m²+n²的最小值是

4

．

Answer 1

分析：由直角三角形且c為斜邊，根據(jù)勾股定理表示出一個關系式，因為所求式子即為原點到已知點距離的平方，而點到直線的距離只有垂線段最短，利用點到直線的距離公式表示出原點到已知直線的距離，把表示出的關系式代入即可求出原點到已知直線的距離，平方即可得到所求式子的最小值．

解答：解：根據(jù)題意可知：當（m，n）運動到原點與已知直線作垂線的垂足位置時，m²+n²的值最小，
由三角形為直角三角形，且c為斜邊，根據(jù)勾股定理得：c²=a²+b²，
所以原點（0，0）到直線ax+by+2c=0的距離d=

|0+0+2c|

a2+b2

=2，
則m²+n²的最小值為4．
故答案為：4．

點評：此題考查了點到直線的距離公式，以及勾股定理．理解當動點（m，n）運動到原點到已知直線垂直時垂足的位置時，所求式子達到最小是解本題的關鍵．