Question

已知二次函數(shù).

（1）若，試判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）是否存在，使同時(shí)滿足以下條件

①對任意，且；

②對任意,都有。若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。

（3）若對任意且，，試證明存在，

使成立。

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。（2）當(dāng)時(shí)，同時(shí)滿足條件①、②. （3）利用零點(diǎn)存在性定理證明即可

【解析】

試題分析：（1） 

當(dāng)時(shí)，

函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)； 3分

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。        5分

（2）假設(shè)存在，由①知拋物線的對稱軸為x＝－1，

∴即    7分

由②知對,都有

令得又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013062711312946624670/SYS201306271131566693949343_DA.files/image021.png">恒成立， 

，即，即

由得，   10分

當(dāng)時(shí)，，

其頂點(diǎn)為（－1，0）滿足條件①，又對,

都有，滿足條件②.

∴存在，使同時(shí)滿足條件①、②. .12分

（3）令，則

，

在內(nèi)必有一個(gè)實(shí)根。即，

使成立   18分

考點(diǎn)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)及恒成立問題

點(diǎn)評：①二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式是一個(gè)有機(jī)的整體，也是高考熱點(diǎn)，要深刻理解它們相互之間的關(guān)系，能用函數(shù)思想來研究方程和不等式，便是抓住了關(guān)鍵.②二次函數(shù)的圖像形狀、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向等是處理二次函數(shù)問題的重要依據(jù).