Question

在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=BD=2AE，M是AB的中點．建立適當?shù)目臻g直角坐標系，解決下列問題：
（1）求證：CM⊥EM；
（2）求CM與平面CDE所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）分別以CB，CA所在直線為x，y軸，過點C且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，寫出要用的點的坐標，寫出線對應的向量的坐標，根據(jù)兩個向量的數(shù)量積等于0，得到結論．
（2）寫出直線的方向向量，設出平面的法向量，根據(jù)法向量與平面上的向量垂直，數(shù)量積等于0，得到兩個關于法向量坐標的關系式，寫出其中一個法向量，根據(jù)法向量與直線的夾角得到結果．

解答：（1）分別以CB，CA所在直線為x，y軸，過點C且與平面ABC垂直的直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz
設AE=a，則M（a，-a，0），E（0，-2a，a），
所以

CM

=(a，-a，0)，

EM

=(a，a，-a)，
∴

CM

•

EM

=a×a+(-a)×a+0×(-a)=0，
∴CM⊥EM．
（2）

CE

=(0，-2a，a)，

CD

=(2a，0，2a)，
設平面CDE的法向量

n

=（x，y，z），
則有

-2ay+az=0 2ax+2az=0

即

z=2y x=-z

令y=1，則

n

=（-2，1，2），cos?

CM

，n＞=

CM •n

| CM ||n|

=

a×(-2)+(-a)×1+0×2

2 a×3

=-

2

2

，
∴直線CM與平面CDE所成的角為45°

點評：本題考查利用空間向量的語言來描述線面之間的關系，本題解題的關鍵是正確建立坐標系，寫出要用的點的坐標．