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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          為迎接2011“兔”年的到來,某機構舉辦猜獎活動,參與者需先后回答兩道選擇題:問題A有四個選項,問題B有五個選項,但都只有一個選項是正確的,正確回答問題A可獲獎金m元,正確回答問題B可獲獎金n元.活動規(guī)定:參與者可任意選擇回答問題的順序:如果第一個問題回答錯誤,則該參與者猜獎活動中止,一個參與者在回答問題前,對這兩個問題都很陌生,因而準備靠隨機猜測回答問題,試確定回答問題的順序使獲獎金額的期望值較大.
          分析:隨機猜對問題A的概率P1=
          1
          4
          ,隨機猜對問題B的概率P2=
          1
          5
          .回答問題的順序有兩種,分別討論如下:先回答問題A,再回答問題B.先回答問題B,再回答問題A,做出兩種情況下的獲勝的期望,進行比較,分類討論.
          解答:解:隨機猜對問題A的概率P1=
          1
          4
          ,隨機猜對問題B的概率P2=
          1
          5

          回答問題的順序有兩種,分別討論如下:
          (1)先回答問題A,再回答問題B.
          參與者獲獎金額ξ可取0,m,m+n,則
          P(ξ=0)=1-P1=
          3
          4
          ,P(ξ=m)=P1(1-P2)=
          1
          4
          ×
          4
          5
          =
          1
          5
          ,
          P(ξ=m+n)=P1P2=
          1
          4
          ×
          1
          5
          =
          1
          20

          Eξ=m×
          1
          5
          +(m+n)×
          1
          20
          =
          m
          4
          +
          n
          20


          (2)先回答問題B,再回答問題A,
          參與者獲獎金額η可取0,n,m+n,則
          P(η=0)=1-P2=
          4
          5
          ,P(ξ=n)=P2(1-P1)=
          1
          5
          ×
          3
          4
          =
          3
          20

          P(η=m+n)=P2P1=
          1
          5
          ×
          1
          4
          =
          1
          20

          Eη=0×
          4
          5
          +n×
          3
          20
          +(m+n)×
          1
          20
          =
          m
          20
          +
          n
          5

          Eξ-Eη=(
          m
          4
          +
          n
          20
          )-(
          m
          20
          +
          n
          5
          )=
          4m-3n
          20

          于是,當
          m
          n
          3
          4
          時,Eξ>Eη
          ,先回答問題A,再回答問題B,獲獎的期望值較大;
          m
          n
          =
          3
          4
          時,Eξ=Eη
          ,兩種順序獲獎的期望值相等;
          m
          n
          3
          4
          時,Eξ<Eη
          ,先回答問題B,再回答問題A,獲獎的期望值較大.
          點評:期望是概率論和數理統(tǒng)計的重要概念之一,是反映隨機變量取值分布的特征數,學習期望將為今后學習概率統(tǒng)計知識做鋪墊.同時,它在市場預測,經濟統(tǒng)計,風險與決策等領域有著廣泛的應用,為今后學習數學及相關學科產生深遠的影響.
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          正確回答問題A可獲獎金m元,正確回答問題B可獲獎金n元.活動規(guī)定:
          參與者可任意選擇回答問題的順序:
          如果第一個問題回答錯誤,則該參與者猜獎活動中止,
          一個參與者在回答問題前,對這兩個問題都很陌生,因而準備靠隨機猜測回答問題,
          試確定回答問題的順序使獲獎金額的期望值較大.

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