Question

已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的首項a₁=2，S_n為其前n項和，若5S₁，S₃，3S₂成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₂a_n，，記數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．若對?n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由 5S₁，S₃，3S₂成等差數(shù)列，依題意，可化簡求得q=2，首項a₁=2，從而可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）依題意，可求得c_n=-，從而可得T_n=，由≤k（n+4）可求得k≥，利用基本不等式即可求得k的取值范圍．
解答：解：（1）∵5S₁，S₃，3S₂成等差數(shù)列，
∴2S₃=5S₁+3S₂…（1分）
即2（a₁+a₁q+a₁q²）=5a₁+3（a₁+a₁q），
化簡得 2q²-q-6=0…（2分）
解得：q=2或q=-…（3分）
因為數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，所以q=-不合題意…（4分）
所以{a_n}的通項公式為：a_n=2ⁿ．…（5分）
（2）由b_n=log₂a_n得b_n==n…（6分）
∴c_n===-…（7分）
∴T_n=1-+-+…+-
=
=…（8分）
∵≤k（n+4）
∴k≥=…（9分）
=…-（11分）
∵n++5≥2+5=9，當且僅當n=，即n=2時等號成立------（12分）
∴≤ …（13分）
∴k的取值范圍[，+∞）．…（14分）
點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查等差數(shù)列的通項公式，考查裂項法求和與基本不等式的綜合應用，屬于難題．