Question

已知橢圓W的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，兩條準(zhǔn)線間的距離為6. 橢圓W的左焦點(diǎn)為，過左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)任作一條斜率不為零的直線與橢圓W交于不同的兩點(diǎn)、，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為.

（Ⅰ）求橢圓W的方程；

（Ⅱ）求證： ()；

（Ⅲ）求面積的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）橢圓W的方程為

（Ⅱ）見解析

（Ⅲ）面積的最大值為

解析:

（Ⅰ）設(shè)橢圓W的方程為，由題意可知

解得，，，

所以橢圓W的方程為．……………………………………………4分

（Ⅱ）解法1：因?yàn)樽鬁?zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.于是可設(shè)直線 的方程為．

得.

由直線與橢圓W交于、兩點(diǎn)，可知

，解得．

設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，,

則，，，．

因?yàn)?img width=59 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/116/415316.gif">，，

所以，.

又因?yàn)?img width=161 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/120/415320.gif">

，

所以．    ……………………………………………………………10分

解法2：因?yàn)樽鬁?zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.

于是可設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，,

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．

由橢圓的第二定義可得

,

所以，，三點(diǎn)共線，即．…………………………………10分

(Ⅲ)由題意知

 

    

     ，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立，

所以面積的最大值為．