Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=x-3．設圓C的半徑為1，圓心在l上．
（1）若圓心C也在直線y=2x-4上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；
（2）若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出圓心坐標，可得圓的方程，再設出切線方程，利用點到直線的距離公式，即可求得切線方程；
（2）設出點C，M的坐標，利用MA=2MO，尋找坐標之間的關系，進一步將問題轉化為圓與圓的位置關系，即可得出結論．

解答：解：（1）由題設，圓心C在y=x-3上，也在直線y=2x-4上，2a-4=a-3，∴a=1，∴C（1，-2）．
∴⊙C：（x-1）²+（y+2）²=1，
由題，當斜率存在時，過A點切線方程可設為y=kx+3，即kx-y+3=0，則

|k+5|

1+k2

=1，解得：k=-

12

5

，…（4分）
又當斜率不存在時，也與圓相切，∴所求切線為x=0或y=-

12

5

x+3，
即x=0或12x+5y-15=0…（6分）
（2）設點C（a，a-3），M（x₀，y₀），則
∵MA=2MO，A（0，3），O（0，0），
∴x02+(y0-3)2=4(x02+y02)，即x02+y02=3-2y0，
又點M在圓C上，∴(x0-a)2+(y0-a+3)2=1，
∴M點為x02+y02=3-2y0與(x0-a)2+(y0-a+3)2=1的交點，…（9分）
若存在這樣的點M，則x02+y02=3-2y0與(x0-a)2+(y0-a+3)2=1有交點，
即圓心之間的距離d滿足：1≤d≤3，∴1≤

a2+(a-4)2

≤3，即1≤2a²-8a+16≤9，
解得：

4- 2

2

≤a≤

4+ 2

2

…（14分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查圓與圓的位置關系，考查學生的計算能力，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．