Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）=0，當(dāng)x＞0時，有(

f(x)

x

)的導(dǎo)數(shù)小于零恒成立，則不等式

x

2

f(x)＞0的解集是（　　）

A．（一2，0）∪（2，+∞）

B．（一2，0）∪（0，2）

C．（-∞，-2）∪（2，+∞）

D．（-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析：首先根據(jù)商函數(shù)求導(dǎo)法則，求出(

f(x)

x

)的導(dǎo)數(shù)

xf′(x)-f(x)

x2

；然后利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，判斷函數(shù)y=

f(x)

x

在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）內(nèi)的正負(fù)；最后結(jié)合奇函數(shù)的圖象特征，可得f（x）在（-∞，0）內(nèi)的正負(fù)性．則x²f（x）＞0?f（x）＞0的解集即可求得．

解答：解：由(

f(x)

x

)′=

xf′(x)-f(x)

x2

因為當(dāng)x＞0時，有

xf′(x)-f(x)

x2

＜0恒成立，即[

f(x)

x

]′＜0恒成立，
∴y=

f(x)

x

在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
∵f（2）=0，
∴在（0，2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（2，+∞）內(nèi)恒有f（x）＜0．
又∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴在（-∞，-2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（-2，0）內(nèi)恒有f（x）＜0．
又不等式x²f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
故答案為：（-∞，-2）∪（0，2）．

點評：本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)法則及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性時，常可利用導(dǎo)函數(shù)來判斷，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．