Question

已知方程（x²-mx+2）（x²-nx+2）=0的四個根組成一個首項為

1

2

的等比數列，則|m-n|=（　　）

• A、1
• B、

  3

  2

• C、

  5

  2

• D、

  9

  2

Answer 1

分析：首先設出四個根和公比p，然后根據韋達定理得出由

x1x2=2 x3x4=2

得x₁x₂x₃x₄=4，進而得出p=±2，然后分情況求出四根，得出結果．

解答：解：設這四個根為x₁，x₂，x₃，x₄，公比為p其所有可能的值為

1

2

，

1

2

p，

1

2

p2，

1

2

p3，
由

x1x2=2 x3x4=2

得x₁x₂x₃x₄=4，
即

1

2

•

1

2

p•

1

2

p2•

1

2

p3=4，
則p⁶=64?p=±2．
當p=2時，四個根為

1

2

，1，2，4，且

1

2

，4為一組，1，2為一組，
則

1

2

+4=m，1+2=n，
則|m-n|=

3

2

；
當p=-2時，不存在任兩根使得x₁x₂=2，或x₃x₄=2，∴p=-2舍去．
故選B．

點評：本題主要考查了等比數列的性質，解題的關鍵是運用了韋達定理求出公比，屬于中檔題..