Question

【題目】已知橢圓，離心率為，兩焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的周長為8.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作圓的切線交橢圓于兩點(diǎn)，求弦長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一般利用待定系數(shù)法，即根據(jù)條件列兩個(gè)獨(dú)立方程：一是離心率，二是橢圓定義：的周長為，解方程組得，（2）涉及弦長問題，一般利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長公式求弦長：設(shè)切線的方程為，則，再根據(jù)直線與圓相切得，即，代入化簡得，最后利用基本不等式求最值

試題解析：（1）由題得：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

又，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

即橢圓的方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由題意知，，設(shè)切線的方程為，

由，得．．．．．．．．．．．．．．．7分

設(shè)，

則．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

，

由過點(diǎn)的直線與圓相切得，即，

所以．．．．11分

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分