Question

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且離心率為，M為橢圓上任意一點，當(dāng)∠F1MF2＝90°時，△F1MF2的面積為1．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知點A是橢圓C上異于橢圓頂點的一點，延長直線AF1，AF2分別與橢圓交于點B，D，設(shè)直線BD的斜率為k1，直線OA的斜率為k2，求證：k1·k2等于定值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由題意可求得，則，橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)，，

當(dāng)直線的斜率不存在或直線的斜率不存在時，.

當(dāng)直線、的斜率存在時，,設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達定理計算可得直線的斜率為，直線的斜率為，則.綜上可得：直線與的斜率之積為定值.

（Ⅰ）設(shè)由題，

解得，則，橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)，，當(dāng)直線的斜率不存在時，

設(shè)，則，直線的方程為代入，

可得 ，，則,

直線的斜率為，直線的斜率為，

，

當(dāng)直線的斜率不存在時，同理可得.

當(dāng)直線、的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，

則由消去可得：，

又，則，代入上述方程可得:

，，

則 ，

設(shè)直線的方程為，同理可得 ，

直線的斜率為

直線的斜率為， .

所以，直線與的斜率之積為定值，即.

【點睛】

(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．

(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù)f（x）＝（x＋b）（－a），（b＞0），在（－1，f（－1））處的切線方程為（e－1）x＋ey＋e－1＝0．

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）若方程f（x）＝m有兩個實數(shù)根x1，x2，且x1＜x2，證明：x2－x1≤1＋．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由題意利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線方程，得到關(guān)于a,b的方程組，求解方程組并檢驗可得，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，則在(-1，0)處的切線方程為，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合新構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)分類討論即可證得題中的不等式.

（Ⅰ）由題意，所以，

又，所以，

若，則，與矛盾，

故，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，

設(shè)在(-1，0)處的切線方程為，易得，，

令即，，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，設(shè)， ，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，

所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

故.

，設(shè)的根為，則又函數(shù)單調(diào)遞減，

故，故，

設(shè)在(0,0)處的切線方程為，

易得令，，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，

所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，

設(shè)的根為，則又函數(shù)單調(diào)遞增，

故，故，

又，.