Question

某產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個檔次，生產(chǎn)第一檔（即最低檔次）的利潤是每件8元，每提高一個檔次，利潤每件增加2元，但每提高一個檔次，在相同的時間內(nèi)，產(chǎn)量減少3件．如果在規(guī)定的時間內(nèi)，最低檔次的產(chǎn)品可生產(chǎn)60件．
（ I）請寫出相同時間內(nèi)產(chǎn)品的總利潤y與檔次x之間的函數(shù)關系式，并寫出x的定義域．
（ II）在同樣的時間內(nèi)，生產(chǎn)哪一檔次產(chǎn)品的總利潤最大？并求出最大利潤．

Answer 1

分析：（ I）由題意知，生產(chǎn)第x個檔次的產(chǎn)品每件的利潤為8+2（x-1）元，該檔次的產(chǎn)量為60-3（x-1）件，二者相乘即可得出本檔次的總利潤．
（II）在定義域內(nèi)利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（ I）由題意知，生產(chǎn)第x個檔次的產(chǎn)品每件的利潤為8+2（x-1）元，該檔次的產(chǎn)量為60-3（x-1）件．
則相同時間內(nèi)第x檔次的總利潤：y=（2x+6）（63-3x）=-6x²+108x+378，其中x∈{x∈N^*|1≤x≤10}．
（ II）y=-6x²+108x+378=-6（x-9）²+864，
則當x=9時，y有最大值為864．
故在相同的時間內(nèi)，生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品的總利潤最大，最大利潤為864元．

點評：本題考查了產(chǎn)品的件數(shù)與利潤的關系、二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．