Question

已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓x2+

y2

2

=1上的兩個(gè)焦點(diǎn)，A，B是過(guò)焦點(diǎn)F₁的一條動(dòng)弦，則△ABF₂的面積的最大值為（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  2

• C、1
• D、2

  2

Answer 1

分析：設(shè)出AB方程代入橢圓方程，整理，利用韋達(dá)定理，表示出三角形的面積，換元，即可得出結(jié)論．

解答：解：∵橢圓x2+

y2

2

=1，
∴F₁（0，1），F(xiàn)₂（0，-1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程為y=kx+1，
代入橢圓方程，整理可得（2+k²）x²+2kx-1=0，
∴x₁+x₂=

-2k

2+k2

，x1x2=-

1

2+k2

，
∴△ABF₂的面積為S=

1

2

|F₁F₂||x₁-x₂|=

( -2k 2+k2 )2+ 4 2+k2

=

8(k2+1) (2+k2)2

，
令t=k²+1（t≥1），則S=

8t (t+1)2

=

8 ( 1 t + 1 t2 )2

≤

2

，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即k=0時(shí)取等號(hào)，
∴△ABF₂的面積的最大值為

2

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．