Question

AB為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)弦，若|AB|=1，則AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

 

；若AB的傾斜角為α，則|AB|=

 

．

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當(dāng)|AB|=1時(shí)，根據(jù)拋物線性質(zhì)可知x₁+

p

2

+x₂+

p

2

=|AB|求得x₁+x₂，進(jìn)而可得AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；當(dāng)AB的傾斜角為α，可知直線AB斜率為k=tanα設(shè)直線AB是y-0=tanα（x-

p

2

）與拋物線方程聯(lián)立消去y求得x₁+x₂，進(jìn)而根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離求得|AB|．

解答：解：拋物線y²=2px，∴焦點(diǎn)為（

p

2

，0），準(zhǔn)線方程為x=-

p

2

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①根據(jù)拋物線性質(zhì)可知，x₁+

p

2

+x₂+

p

2

=|AB|=1
∴x₁+x₂=1-p
∴AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)

x1+x2

2

=

1-p

2

②k=tanα
所以直線AB是y-0=tanα（x-

p

2

）
代入拋物線方程得
tan²αx²-tan²αpx+tan²α

p2

4

=2px
tan²αx²-（tan²αp+2p）x+tan²α

p2

4

=0
所以x₁+x₂=

tan2αp+2p

tan2α

拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離
所以A橫坐標(biāo)是x₁，所以A到準(zhǔn)線距離=x₁+

p

2

B到準(zhǔn)線距離=x₂+

p

2

所以AB=AF+BF=

2p

sin2α

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的性質(zhì)．要特別利用好“拋物線的拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離”的性質(zhì)．