Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，則a∈（0，+∞）時(shí)，實(shí)數(shù)b的最大值是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=x+2a， 函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)為 ，
由于兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點(diǎn)，設(shè)為P（x0 ， y0），
則 ，
由于x0＞0，a＞0
則x0=a，因此
構(gòu)造函數(shù) ，
由h'（t）=2t（1﹣3lnt），
當(dāng) 時(shí)，h'（t）＞0即h（t）單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)，h'（t）＜0即h（t）單調(diào)遞減，
則 即為實(shí)數(shù)b的最大值．
故選D．
分別求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)．由于兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點(diǎn)，
設(shè)為P（x0 ， y0），則有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b關(guān)于a的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù) ，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可得到b的最大值．