Question

已知函數(shù)y=Msin(ωx+?)，(M＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

)的部分圖象如圖所示，其中B，C為函數(shù)的最大值和最小值的對應(yīng)點，過點B與直線AB：y=x+1垂直的直線BC被圓x²+y²=9所截得的弦長為3

2

．
（Ⅰ）求直線BC的方程．
（Ⅱ）求函數(shù)y=Msin(ωx+?)，(M＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

)的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出直線BC的方程，利用弦心距、半徑、半弦長的關(guān)系求出直線BC的方程．
（Ⅱ）求出B 的坐標，BC的方程與x 軸的交點坐標，然后求出函數(shù)的周期，利用三角函數(shù)經(jīng)過的特殊點，求出φ，即可求函數(shù)y=Msin(ωx+?)，(M＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

)的解析式．

解答：解：（I）依題意設(shè)直線BC：y=-x+b，…（1分）
圓心O到直線BC的距離d=

9-( 3 2 2 )2

=

3 2

2

，…（3分）
又∵d=

|b|

2

=

3 2

2

，
∴|b|=3，…（5分）
又依題意b＞0，
∴b=3，
∴直線BC：y=-x+3．…（7分）
（II）由

y=x+1 y=-x+3

得：

x=1 y=2

，
∴點B（1，2），
∴M=2．…（8分）
 取直線BC與x軸的交點為E，
∴E（3，0），…（9分）
點B，C關(guān)于點E中心對稱，
∴C（5，-2）…（10分）
T=2×（5-1）=8，ω＞0，
∴ω=

π

4

∴y=2sin(

π

4

x+?)…（12分）
函數(shù)的圖象經(jīng)過點B（1，2），

π

4

+?=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∵|φ|＜

π

2

，
∴?=

π

4

，…（13分）
∴y=2sin(

π

4

x+

π

4

)．…（14分）

點評：本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，直線方程的垂直關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．