Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x²＋｜x－a｜＋1，x∈R．

(1)討論f(x)的奇偶性；

(2)求f(x)的最小值．

 

Answer 1

答案：
提示：

命題意圖：本題主要考查函數(shù)的概念、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，考查分類討論思想及邏輯思維能力． 解題思路：(1)分a＝0和a≠0兩種情形加以討論． 當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝(－x)2＋｜－x｜＋1＝f(－x)，此時(shí)，f(x)為偶函數(shù)． 當(dāng)a≠0時(shí)，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2｜a｜＋1，f(－a)≠f(a)． 此時(shí)，函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)． (2)除掉絕對(duì)值符號(hào)，化為基本初等函數(shù)問(wèn)題求解． ①當(dāng)x≤a時(shí)，函數(shù)f(x)＝x2－x＋a＋1＝(x－)2＋a＋． 若a≤，則函數(shù)f(x)在(－∞,a]上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)f(x)在(－∞，a]上的最小值為f(a)＝a2＋1． 若a>，則函數(shù)f(x)在(－∞，a]上的最小值為f()＝＋a，且f()≤f(a)． ②當(dāng)x≥a時(shí)，函數(shù)f(x)＝x2＋x－a＋1＝(x＋)2－a＋． 若a≤－，則函數(shù)f(x)在[a，＋∞)上的最小值為f(－)＝－a，且f(－)≤f(a)． 若a>－，則函數(shù)f(x)在[a，＋∞)上單調(diào)遞增，從而，函數(shù)，f(x)在[a，＋∞)上的最小值為，f(a)＝a2＋1． 綜上，當(dāng)a≤－時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是－a；當(dāng)－<a≤時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為a2＋1；當(dāng)a>時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為a＋． 評(píng)點(diǎn)：解本題的關(guān)鍵是分類，難點(diǎn)是除掉絕對(duì)值符號(hào)后，正確進(jìn)行討論，確立函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求最小值．