Question

(本小題滿分14分)

某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的成本費共由三部分組成：①原材料費每件50元；②職工工資支出元；③電力與機器保養(yǎng)等費用為元.其中是該廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總件數(shù)。

（1）把每件產(chǎn)品的成本費(元)表示成產(chǎn)品件數(shù)的函數(shù)，并求每件產(chǎn)品的最低成本費；

（2）如果該廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的數(shù)量不超過170件且能全部銷售，根據(jù)市場調(diào)查，每件產(chǎn)品的銷售價為（元），且，試問生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，總利潤最高？并求出最高總利潤。（總利潤=總銷售額-總的成本）

 

Answer 1

【答案】

（1），，每件產(chǎn)品的最低成本費為220元。

（2）生產(chǎn)100件產(chǎn)品時，總利潤最高，且最高利潤為元。

【解析】本試題主要是考查了函數(shù)在實際生活中的運用。函數(shù)數(shù)學模型的理解和解決問題的能力的培養(yǎng)。

（1）因為每件產(chǎn)品的成本費(元)表示成產(chǎn)品件數(shù)的函數(shù)，然后利用均值不等式的思想求解最值。

（2）利潤等于收入減去成本，那么設(shè)總利潤元，則

然后借助于導數(shù)的思想得到最值。

（1），……………3分

由基本不等式得： ……………………………………………5分

當且僅當，即時等號成立，

所以，，每件產(chǎn)品的最低成本費為220元�！�………………6分

（2）設(shè)總利潤元，則

 

 ……………………………………9分

所以

=    ………………………11分

當時，，當時，，

所以在[1,100]上是增函數(shù)，在[100,170]上是減函數(shù)， ………………………………12分

所以當時，函數(shù)取得最大值，

所以生產(chǎn)100件產(chǎn)品時，總利潤最高，且最高利潤為元。………………………14分