Question

已知函數(shù)f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a為常數(shù)，且函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線相互平行．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若關(guān)于x的不等式對(duì)任意不等于1的正實(shí)數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)m的取值集合．

Answer 1

解：（1）．
y=f（x）的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)（0，a）；y=g（x）的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)（a，0），
∴f′（0）=g′（a）．
∴．
∵a＞0，∴a=1
∴g（x）=lnx．
（2）①當(dāng)x＞1時(shí)，由得恒成立．
令，則．
令，則，
∴h（x）在[1，+∞）上遞增．
∴?x＞1，h（x）＞h（1）=0．
∴φ′（x）＞0．
∴φ（x）在[1，+∞）上遞增．
∴m≤φ（1）=1．
②當(dāng)0＜x＜1時(shí)，由得即m＞φ（x）恒成立．
同①可得φ（x）在（0，1]上遞增．
∴m≥φ（1）=1．
綜合①②得m=1．
分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別求兩函數(shù)在與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線斜率，令其相等解方程即可得a值
（2）不等式對(duì)任意不等于1的正實(shí)數(shù)都成立，即當(dāng)x＞1時(shí)恒成立；當(dāng)0＜x＜1時(shí)得恒成立．構(gòu)造新函數(shù)，求其在[1，+∞）的最小值，在（0，1]上的最大值即可
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)在解決恒成立問(wèn)題、最值問(wèn)題中的應(yīng)用，解題時(shí)要善于構(gòu)造新函數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，計(jì)算要認(rèn)真細(xì)致